一、常型Dirac算子的谱分解（论文文献综述）
王凯[1]（2020）在《一类正则非局部Sturm-Liouville问题特征值的渐近分布》文中进行了进一步梳理常微分算子理论的研究缘起于Fourier对热传导问题的数学处理中.19世纪30年代,Sturm和Liouville在研究弦振动方程的解时对Fourier的方法进行了一般性的讨论,得到的结果成为解决一大类数学物理方程的基础,推动了微分方程的发展,之后他们作出了许多这方面的研究,发表了一系列相关文章,经过发展最终逐步建立了以Sturm-Liouville（简称S-L）算子为代表的常微分算子理论.1910年Weyl又将Sturm-Liouville问题的有限区间推广到了无限区间,开创了奇异Sturm-Liouville问题的研究.20世纪初,量子力学这一重要理论建立,量子力学是描述微观物质的理论,与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱.由于奇异算子理论对量子力学最初的发展发挥了重要作用,越来越多的学者开始微分算子理论的研究.关于微分算子理论研究的主要内容,集中在谱分析、亏指数、逆谱问题等方面,其中谱分析又称特征值分析,它的主要工作是研究特征值的相关性质以及分布等问题.20世纪50年代,Titchmarch,Everitt等数学家开始研究特征值性质、算子的谱、特征函数展开式等问题,取得了重要研究成果,在60年代,由于现代物理学、现代科学的发展需要,研究者们不再局限于经典微分方程的研究,开始了非局部微分方程定解问题的研究,非局部微分方程的来源广泛,例如反应扩散理论、量子力学点干涉问题、电压驱动的电力系统等,解决这些非局部相关问题也是很有必要的.1987年曹之江利用函数论方法得到了 S-L问题特征值关于n的渐近估计式[1],1996年Kong Q,Zettl A证明了方程系数、权函数及边界条件都和特征值有关系[31].自此许多学者开始利用不同的研究方法对特征值作渐近估计,得到的结果也越来越精细,而对于非局部问题的谱,许多研究者也作了大量该问题在特殊情况下的研究,但非局部微分方程谱理论的研究尚在起步阶段,所以对于特征值的渐近分析结果不是很多.本文主要考虑正则非局部Sturm-Liouville问题的特征值渐近分布问题,首先,我们得到Cauchy问题解的解析形式.进一步,利用迭代法和同阶无穷小分析得到Cauchy问题解的渐近公式,之后通过Rouche定理得到q≡0时特征值的渐近分布公式.最后,通过Frechet导数得到特征值的渐近分布公式.主要研究工作安排如下:第一章,绪论.主要介绍本文研究问题的国内外的研究背景,非局部特征值问题的来源以及目前国内外关于非局部问题的研究现状.第二章,预备知识.给出正则Sturm-Liouville问题的相关理论知识以及本文需要用到的相关结论.第三章,主要研究正则非局部问题特征值的渐近估计.首先,通过常数变异公式求得问题的Cauchy问题解的解析形式、通过放缩法求得此时Cauchy问题解的渐近式.其次,利用迭代法以及无穷小分析得到Cauchy问题解更精细的渐近公式,然后,通过Rouche定理以及关于λ何时为问题特征值的引理求得势函数q三0的特征值渐近分布公式,最后通过Frechet导数定义证明了特征值和势函数关系的定理,加上上一部分势函数q三0的特征值结论等得出一类正则非局部Sturm-Liouville问题特征值的渐近分布,然后我们通过对比经典的正则Sturm-Liouville问题渐近公式分析得出本文的结论,得到本文研究的结论之后给出了本文研究的展望,也就是后续的研究工作.
青兰[2]（2019）在《C-对称微分算子自共轭性的解析描述》文中指出本文从讨论二阶、四阶对称微分算子新的统一的自共轭域标准型出发,根据边界条件对自共轭域的刻画,研究了C 对称微分算子的自共轭扩张问题.线性算子理论是泛函分析的重要组成部分,是深刻反映众多数学问题本质的数学分支,具有十分广泛的应用背景及研究意义.其中线性微分算子,作为近代数学物理中最为基本且最为常用的变换关系,在线性算子理论及其他数学分支中起着重要的作用.线性微分算子,通常是线性微分算式及赋予其齐次线性边界条件的总称.由于自共辄算子的谱是实的,因而在应用上具有特殊的重要地位.微分算子是由微分算式生成的稠定的算子,是一类无界的可闭线性算子,而自共辄微分算子是一类无界的闭算子.根据泛函分析中的闭图像定理,其定义域不可能是全空间,从而微分算子自共轭定义域的选择一直是微分算子理论中十分困难的一个问题.自共轭微分算子的描述问题既依赖于生成的微分算式,又依赖于它所作用的空间范围.对称算子通常是进一步研究其他类型算子的基础.微分算子的自共轭性问题最终体现在对定义域的限制上.定义域不相同的微分算子,其谱分解,特别是离散谱会有很大的不同.因而对称微分算子自共轭边界条件的标准型是研究微分算子边界条件对谱的分布影响的理论基础.边界条件的标准型在研究微分算子边界条件对微分算子谱分布影响中有一个基本和独特的地位.近年来一些数学工作者给出了二阶微分算子耦合自共轭边界条件及分离自共轭边界条件两种不同的标准型,并研究了四阶微分算子自共轭边界条件的标准型分类和它的具体形式.我们注意到耦合和分离这两种标准型具有完全不同的形式,在应用上（包括研究特征值对边界条件的依赖）会受到一定程度的限制,在本文中我们给出了全新的二阶自共轭边界条件统一的标准型,通过这个标准型系数的选择,可以使之成为耦合的标准型,或者成为分离的标准型.在此基础上,通过研究四阶微分算子新的自共轭边界条件的标准型,使得四阶的情况与二阶的情况在形式上完全一致,而且包含了它们各自每一类型的标准型.这为研究一般偶数阶对称微分算子自共轭边界条件的标准型提供了良好的基础.自共轭微分算子定义域的描述,即边界条件的限定,是线性微分算子理论中一个十分有意义的根本性的问题,一直受到许多中外学者的广泛探索.在研究自共轭边界条件的标准型的过程中,我们注意到M.A.Naimark教授与A.Zettl教授分别引进了不同的对称微分算式.在此基础上,我们考虑并引入C-对称概念,使两种不同的微分算子加以统一.进而研究了一般偶数或奇数阶C-对称微分算式,其中C为满足C-1=-C=C*的斜对角常数矩阵,这拓展了对称形式的数学内蕴,给出了更加完备的微分算式新的对称形式.随着应用的需求,直和空间内自共轭微分算子的研究得到了很大程度的推广.自从两区间二阶Sturm-Liouville问题的自共辄扩张问题被研究以来,这些理论被推广到高阶微分算子及它的自共轭域描述问题,进一步被推广到任意多个区间上的高阶微分方程问题.由于自共轭算子的谱是实的,应用实参数平方可积解描述自共轭问题会产生与微分算子谱相关的信息.本文研究了两区间理论,即在Hilbert空间的直和框架下,应用微分方程实参数平方可积解,给出两端奇异的两区间C-对称微分算子自共轭域的完全描述.通过上述研究,注意到刻画微分算子边界条件的矩阵的根本特征,我们总结出一类作用于自共轭边界条件上的矩阵群:C-辛群,研究了这类C-辛群的性质,以及特征值的分布特点.进一步地,从C-辛群的角度,研究了一般偶数阶C-对称微分算子的所有自共轭扩张的描述问题及对应边界条件的标准型问题.C-辛群性质的研究,为我们研究、理解自共轭扩张提供了一个新的途径.
徐亚飞[3]（2019）在《非局部奇异二阶微分方程的Weyl分类》文中研究表明微分方程作为近代数学一个极为重要的学科分支,它诞生于十七世纪.随着各个方面的发展,无论是在工程学、天文学等自然领域,还是在金融、保险、经济等社会领域,微分方程都有着相当普遍的运用.常微分方程作为一门被普遍运用到多个领域的学科,它的发展进程不仅仅与物理学、力学等的发展进程彼此促进，与天文学的发展也是彼此影响,彼此鞭策的.常微分方程的许多理论及方法不单单运用于天然范畴,也日渐被运用到当代社会的各个范畴.我们可以预知到,微分方程的理论及其应用会是不可或缺的,它们在今后一定会渗透到我们社会以及生活的各个方面.线性算子的谱理论作为现代数学学科的基础理论,它不仅是泛函分析学科的重中之重,并且也是算子理论体系的重要组成部分.在Hilbert空间中，，有关于有界算子和无界自共轭算子的理论已经较为完整,当我们把这些理论应用到微分方程或者积分方程等理论中时,使得当代数学中的众多极为重要的问题得到了处理.运用线性算子的相关理论研究这样的问题，于是导致了微分算子与积分算子的产生.其实.不单单是在工程学、物理学,还包括在现代科技生活中的相当多的问题最后都可以归结到微分算子或积分算子的问题上,比如最后的结果可能是将问题转化成了微分算子的谱问题,特征值问题或者与特征函数相联系的问题上等.除此之外，人们还发现微分算子的谱分析是解决众多量子力学问题的较为基本的数学工具.微分算子的谱理论不仅在数学领域有着重要的运用.在经典量子力学领域也有着举足轻重的地位.早在1910年德国数学家Weyl将Sturm-Liouville问题的研究从有限区间上拓展到了无限区间上.Weyl讨论了二阶实系数奇异Sturm-Liouville方程的平方可积解问题,并给出了关于此类方程的Weyl分类,即微分算式属于极限点型或极限圆型的分类,这个问题的研究又使得Sturrm-Liouville理论迅速发展起来.进入一个全新的成长过程.微分算式属于极限点或者极限圆型的辨别与相应的微分算子的谱之间有着非常紧密的联系,因为前者是研究谱信息的基础.通过研究这两者之间的关系.可以为算子的谱分解的问题提供具体的解决办法.并且在这一方面的研究现已扩展到了一般的n阶奇型微分算子的亏指数问题上，从而使得这一研究领域显现出了更加广阔的前景.对于带有非局部边界条件的Sturm-Liouville问题在[32.45]中被研究过.带有非局部项的微分方程模型出现于反应扩散过程、量子力学等领域.对于相对较为简单的模型，曾有多个作者对此进行研究,具体可参见文献[13.25]等.对于正则区间上的非局部方程，它在不同边界条件下的谱问题尤其是特征值问题也有学者研究过,而且已经有了较好的结果[3，,40，,41].本文主要考虑带有非局部项的二阶奇异Sturm-Liouville方程.我们不仅给出了这类方程属于极限点（圆）型的定义,在此基础上还给出了非局部奇异方程属于极限点型的充分必要条件.除此之外,我们也研究了非局部方程在实轴上的平方可积解个数,而且找到了一些相应的充分必要条件,结果表明非局部问题的情形与经典局部问题之间是有着本质区别的.本文的主要研究工作结构安排如下:第二章:主要针对经典的奇异二阶微分方程,通过其平方可积解个数给出此类方程的Weyl分类,并给出重要的相关性质定理;另外.我们也提供了几种较为基本且是比较常用的极限点（圆）型的辨别方法.特别是提供了一个经典的二阶微分方程属于极限点型的充分必要条件.第三章:鉴于经典的奇异二阶微分方程只能属于极限点型或极限圆型,我们就针对这两种情形来研究非局部奇异二阶微分方程的平方可积解个数,进而给出非局部奇异二阶微分方程属于极限点型或极限圆型的定义，即对非局部奇异二阶微分方程或者说非局部奇异二阶微分算式作出Wevl分类.在此基础上,进一步得到非局部奇异微分方程属于极限点型的充分必要条件.第四章:讨论当λ（?）R时，非局部奇异二阶微分方程的属于L2[0,∞)的解的情况.鉴于微分方程属于极限圆型时的情况较为简单,我们重点讨论的是微分方程属于极限点型的情况，此时我们发现非局部问题与经典局部问题之间有着很大的不同.并且,我们对此给出了定量的描述。
邵晶[4]（2015）在《几类微分系统的定性理论及其应用》文中提出1881-1886年,法国数学家J. H. Poincare （1854-1912）,发表了四篇关于微分方程所确定的积分曲线的论文,首次在微分方程求解过程中引入定性思想,为微分方程解的性质的讨论和应用开辟了新的天地.同时期,俄国数学家A. M. Liapunov （1857-1918）提出了常微分方程稳定性理论亦称运动稳定性理论,在具体问题的研究中进,一步完善和发展了定性理论.随后二百多年,经过各国数学家不懈的努力,微分方程定性理论发展迅速,产生了众多的学科分支,研究的方程也从线性发展到非线性,由低阶发展到高阶.这些领域构建的微分方程模型能比较精确的描述宏观和微观世界,在应用领域引起了广泛的关注.微分方程的定性理论和应用因此成为近年来研究的热点问题之一.在微分方程定性理论的研究中,微分算子谱理论和分数阶微分方程伴随着分形学、生物学、自动控制、物理学、分数控制系统与分数控制器,流变学,电分析化学等学科的飞速发展.受到了众多学者的关注,有了突破性的发展.其中Dirac算子在描述量子力学中的能量和原子的内力问题中是十分重要的,由于力学系统受到外力的干扰或原子系统受到外电磁场的作用,都可能使得原系统不再连续,造成描述该系统的方程中的特征函数具有间断点,这一物理现象抽象为带有转移条件的Dirac系统.目前Dirac系统的特征值及其性质还少有人研究,文[110]研究了具有转移条件的一个简单形式（对角型）的Dirac系统的逆谱问题,关于一般形式的具有转移条件的Dirac系统的谱问题,如相应的Dirac算子的自伴性、特征函数的完备性等,迄今为止尚未发现有相应结果出现.19世纪以来,伴随着广义算子理论的兴起和发展,分数阶微分理论在理论和应用上都获得了突飞猛进的发展,出现了较多的专着和论文集,研究的方向众多,各个分支都有了一定的发展,见参考文献[1]、[25]、[26]、[79]等.但是由于分数阶微积分算子具有非局部性,作为积分算子的核又是奇异的,利用整数阶微分方程的理论和方法来研究分数阶微分系统非常困难,因而有必要建立分数阶微积分的独立的理论.由于其计算的复杂性,对它们某些物理意义的阐述还未得到普遍认可,所以总的来说相对于整数阶微分方程理论,分数阶微分方程理论的研究口前仍处于起步阶段.分数阶微分方程的定性理论和应用也是近年来研究的热点之一,是分数阶微积分最直接的应用之一,在众多自然学科领域有着广泛的应用.分数阶微分方程的研究内容比较丰富,但是分数阶微分、积分方程的理论研究还不太完善,定性理论的研究成果相对较少,许多理论正处于期待研究的状态.本文共分为六章,主要研究转移性条件下的Dirac系统的基本解和特征值的性质,几类含有弱奇异核的积分不等式及其在分数阶微分系统中的应用,矩阵哈密顿系统解的振动性质,非线性分数阶微分方程的振动性准则和含混合非线性项的二阶微分方程的广义变分振动性准则.这些研究结果大都已经发表在国外重要的学术期刊上,如《Appl. Math.Comput.》（SCI）、《Abstr.Appl.Anal.》（SCI）、《Discrete Dyn.Nat.Soc.》（SCI）、《Adv.Difference Equ.》（SCI）、《J.Appl.Math.》（SCI）等.第一章简要介绍了微分方程定性理论的历史背景,着重讲述了微分算子谱理论和分数阶微分方程定性理论的发展史,并分成五小节分别介绍了每章研究的问题、方法和结论.第二章主要研究带有一个内部奇异点的Dirac算子的谱问题,在该奇异点处,我们加上了转移性条件,然后考虑带转移条件的Dirac系统的谱问题.其中§2.2给出Dirac系统的变换形式,§2.3给出了要研究的谱问题,52.4研究了由边界条件和转移性条件在合适的Hilbert空间中所定义的算子,并讨论了算子的特征值；§2.5讨论了Dirac系统的基本解及其性质,讨论了Wronski行列式的零点与所讨论的Dirac问题的特征值的对应关系以及特征值的重数,最后§2.6,给出了豫解算子以及Green函数.第三章主要讨论了几类含有弱奇异核的积分不等式及其在分数阶微分系统中的应用.其中§3.2建立了一类含有弱奇异核的不连续函数的积分不等式及其在脉冲分数阶微分系统中的应用,由于弱奇异核的存在,含有不连续函数的不等式的研究方法与经典的Gronwall-Bellman-Bihari型不等式的研究方法相当不同,主要利用Mittag-Leffler函数Eβ（·）来进行研究,并利用逐次迭代法来建立新型的不连续函数积分不等式.§3.4得到了两类含弱奇异核的Gronwall-Bellman型不等式,其中第二类含有时滞项.并将它们用在分数阶微分方程解的有界性等性质的研究上.第四章研究向量形式的哈密顿系统的振动性,首先在§4.2中,我们利用矩阵空间上的单调泛函以及负保持泛函,结合利用Riccati变换和积分均值方法,给出哈密顿系统（4.1）的振动性的区间准则,这些准则只依赖于系数矩阵在一个子区间列上的性质,从而推广改进了许多现有的结果；其次在§4.3中利用一个保振动性的线性变换,以及推广的Riccati变换和积分均值方法,我们建立了哈密顿系统（4.1）的振动性准则,推广改进了现有的许多结果,并简化了已知定理的证明；最后,给出几个例子,说明我们结果的准确性.第五章研究了两类非线性分数阶微分方程的振动性准则.§5.2我们讨论了一类新的分数阶微分方程的振动性判据,对于非线性项f（u）进行了不同的假设,推出来不同的区间型振动性判据,与以往研究的结论不同.不同点主要在于这些结论依赖的条件是半直线的一列区间,而不是整条半直线.§5.3从Riemann-Liouville型分数阶导数和Caputo型分数阶导数两个方面,得到了一类含混合非线性项的分数阶微分方程的振动性准则,并给出几个例子来验证定理的有效性.第六章采用Leighton勺变分原理主要研究了一类含混合非线性项的二阶微分方程的广义变分振动性准则,重点是与广义能量函数（广义的（＆+1）次能量函数）密切相关的半线性方程的振动性判定,它们推广了文中所列参考文献的结果.本章最后给出了几个例子来验证主要定理的有效性.
郝萍萍,魏广生[5]（2015）在《一类Dirac算子特征值的渐近式》文中研究指明主要研究势函数为分段光滑的Dirac微分算子特征值的渐近性,给出其特征值阶为O（1/n2）型渐近估计式。
葛素琴[6]（2014）在《乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性》文中指出本文主要围绕乘积微分算子的白伴性及特征值对边界的依赖性展开研究.微分算子从本质来说是无界可闭的线性算子,无界闭的线性算子的定义域一定不能是全空间,因此定义域的选择始终是微分算子研究中的一个十分重要而困难的问题.在微分算式给定的前提下,对所研究的算子提出的具体要求最终体现在对定义域的限制上.定义域不同的微分算子,其谱分解,特别是离散谱会有很大不同.在这些定义域的选择中,自伴域的选择就是其中重要之一.自伴微分算子因其有重要的应用背景,不仅使得它的谱与反谱问题成为数学家研究的热门课题,同时白伴性的识别与描述问题也被提到了重要位置.本文首先研究了微分算式乘积的自伴域的实参数解描述问题,在适当条件的假设下,利用互为相反数的一对值所对应的解刻画了微分算式乘积的自伴域,使得自伴边界条件中矩阵的确定只与这些解在正则点的初始值有关.其次,对于四阶奇型对称微分算式而言,会出现中间亏指数情形.本文接着研究了由具有任意亏指数的对称常微分算式生成的两个四阶及高阶奇型微分算子的积的自伴性问题.通过在半直线上使用实参数解对自伴域的刻画定理及分析技巧,以矩阵形式给出了,具任意亏指数的奇型对称微分算式产生的两个微分算子的积自伴的充要条件,并获得了与积算子自伴性有关的一些结果.再次,人们在工程实践中发现：一根材料均匀的,横截面积与长度相比可忽略不计的,有弹性的杆,两端以一定的有意义的方式固定住,然后去弹奏它,会发现杆发出的音会随其长度的缩短而逐渐变强,即杆的固有频率在逐渐增高,这一现象更为力学家所熟知.用数学的语言将这一问题翻译出来就是四阶边值问题的特征值对边界的依赖性问题.结合Dauge, Q. Kong （[38],[51],[87]）等人的工作,借助微分算子的谱理论这一有利工具我们研究了两类四阶及高阶边值问题的特征值对边界的依赖性.给出了第n个特征值关于其中一端点的一阶微分表达式,并证明了当区间长度趋于零时,在本文所考虑的边界条件情形下,所有的特征值会趋于无穷.并给出了具体的例子.最后本文研究了具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示,并考虑了它的逆过程即矩阵特征值问题的四阶边值问题表示.全文共分六个部分：一、介绍本文所研究问题的背景及本文的主要结果；二、文中所涉及相关符号、概念以及性质；三、微分算式乘积的自伴域的实参数解刻画；四、两个奇型微分算子乘积的自伴性；五、微分方程边值问题的特征值对边界的依赖性；六、具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示.
许美珍,王万义[7]（2011）在《从曹之江访谈录看常微分算子理论在中国的早期发展》文中研究说明曹之江第一次系统地把常微分算子理论的亏指数理论引入中国,给出了奇异对称微分算子自伴域的完全描述,在当时的微分算子理论的研究领域引起了很大反响。文章以曹之江访谈录为基础,论述常微分算子理论在中国的早期发展。
许美珍[8]（2011）在《常微分算子理论的发展》文中研究指明常微分算子理论是以量子力学为应用背景,综合常微分方程、泛函分析、算子代数及空间理论等理论、方法发展起来的一门系统的、内容广泛的数学分支.它是解决数学物理方程以及大量科学技术应用问题的重要数学工具.常微分算子理论所研究的主要内容包括：自共轭域、谱分析、亏指数及逆谱问题等.本文在查阅了大量的原始文献和有关研究文献的基础上,利用文献分析研究与文献比较研究的方法,从以下几个方面较系统地研究了常微分算子理论的发展历程.一、通过对Sturm和Liouville的工作及其它关于记载这些成果的史料进行分析与研究,从以下几个方面探寻了常微分算子理论的源流：（1）Sturm和Liouville成果的研究背景；（2）分析Sturm和Liouville的工作；（3） Sturm-Liouville理论的意义；（4） Sturm和Liouville工作的后续发展.二、通过对20世纪早期的一些关于二阶奇异边值问题的文献进行系统分析与考察,从以下几个方面论述了Weyl（1910）, Dixon （1912） Stone （1932）和Titchmarsh （1940-1950）的工作对常微分算子理论发展的贡献.我们发现Weyl和Titchmarsh的成果基本上源于经典的实分析和复分析,而Stone的研究工作是Hilbert函数空间抽象理论中自共轭算子与线性常微分方程理论结合的产物.1.1910年,Weyl不仅开创了奇异S-L微分方程的研究,而且首次考虑了微分方程的分析特征.特别是一些新概念和新成果的提出,使S-L理论在20世纪的发展步入了一个新的发展阶段,也为后来的von Neumann和Stone在微分算子理论方面的研究以及为Titchmarsh应用复变换技巧提供了思想渊源.2.1912年,Dixon第一次将系数函数p,q,w的连续性条件由Lebesgue可积条件来代替,此Lebesgue可积性条件也是现代微分算子研究中对系数要求最低的条件.3.1932年,Stone首次在Hilbert函数空问上讨论具有Lebesgue可积系数的二阶微分算子的一般理论.4. Titchmarsh应用单个复变量函数的展开理论研究了正则情形和奇异情形的S-L边值问题.三、通过分析与研究关于常微分算子自伴域描述的已有成果,系统地总结了常型和奇异常微分算子自伴域描述的发展脉络.1.高阶常型微分算子自伴域的描述问题于20世纪50年代彻底解决,1954年Coddington利用矩阵理论和共轭边条件的有关结论,给出了以边条件形式表示的自伴域,这是一个直接的描述结果；同年,Naimark给出了拟微分算子自伴域的描述；1962年,Everitt用微分方程的线性独立解来描述算子的自伴域,在系数足够光滑的条件下,这三个结论是等价的.2.通过分析奇异微分算子自伴域描述的一些重要成果,比如,Weyl-Titchmarsh自伴域,Everitt自伴域,曹之江-自伴域和孙炯-自伴域,论述了曹之江-自伴域的重要性,它是一种直接而完全的自伴域描述,使得奇异微分算子自伴域描述的问题彻底解决.四、通过分析和考察大量的关于谱分析方面的文章,主要以离散谱和本质谱的判别为核心梳理了实自伴微分算子,加权的奇异微分算子及J-自伴微分算子离散谱的判别工作和几类特定微分算子本质谱的判别结果.五、通过挖掘和考察大量的关于亏指数方面的第一手文献,系统地论述了奇异实对称微分算子和复对称微分算子在二阶和高阶情形下极限点型和圆型的判别工作
王晓峰,夏锦[9]（2010）在《加权Dirichlet空间上紧Toeplitz算子》文中认为对α>-1,若算子S是加权Dirichlet空间Dα上有限个Toeplitz算子乘积的有限和,利用不同于加权Dirichlet空间再生核的一种新奇异积分核,得到了S为紧算子的充要条件是当z趋于单位圆盘边界时,S的类Berezin变换趋于0.又利用与Bermgan空间不同的酉算子Uz,定义了算子乘积Sz=UzSUz,得到S为紧算子的充要条件是当z趋于单位圆盘边界时,Szw在D内弱收敛到0.
孙炯,王万义[10]（2009）在《微分算子的自共轭域和谱分析——微分算子研究在内蒙古大学三十年》文中进行了进一步梳理对常微分算子的自共轭域和谱分析的若干问题作了综合性的概要介绍.着重介绍了微分算子的自共轭扩张、自共轭域的辛几何刻画、空间中实参数解的个数对于连续谱的影响、谱的离散性、带有不定权函数的微分算子、不连续点的Sturm-Liouville问题的谱分析以及微分算子特征值的数值方法等问题的研究进展和研究方法,特别是内蒙古大学微分算子讨论班在近30年来在这些领域所做的工作.
二、常型Dirac算子的谱分解（论文开题报告）
（1）论文研究背景及目的
此处内容要求：
首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。
写法范例：
本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。
（2）本文研究方法
调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。
观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。
实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。
文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。
实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。
定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。
定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。
跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。
功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。
模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。
三、常型Dirac算子的谱分解（论文提纲范文）
（1）一类正则非局部Sturm-Liouville问题特征值的渐近分布（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 研究背景 |
| 1.3 研究现状 |
| 1.4 本文结构及创新点 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 预备知识 |
| 3 正则非局部S-L问题特征值的渐近分布公式 |
| 3.1 正则非局部问题的介绍 |
| 3.2 Cauchy问题解的渐近公式 |
| 3.3 q(?)0特征值的渐近估计 |
| 3.4 非局部问题特征值的渐近分布公式 |
| 4 总结与展望 |
| 4.1 本文总结 |
| 4.2 问题与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（2）C-对称微分算子自共轭性的解析描述（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 自共轭微分算子理论 |
| 1.2 基本概念及其性质 |
| 1.3 本文的结构和主要结果 |
| 第二章 正则微分算子自共轭边界条件新的基本标准型 |
| 2.1 问题的提出 |
| 2.2 二阶自共轭边界条件的基本标准型 |
| 2.3 四阶耦合自共轭边界条件的基本标准型 |
| 2.4 例子 |
| 第三章 正则一般偶数阶C-对称微分算子自共轭域的描述 |
| 3.1 问题的提出 |
| 3.2 二阶情况 |
| 3.3 正则一般偶数阶C-对称拟微分表达式 |
| 3.4 主要结论与证明 |
| 3.5 例子 |
| 第四章 正则一般奇数阶C-对称微分算子自共轭域描述 |
| 4.1 问题的提出 |
| 4.2 三阶情况 |
| 4.3 正则一般奇数阶C-对称微分算子自共轭域的描述 |
| 4.4 例子 |
| 第五章 两端奇异两区间偶数阶C-对称微分算子自共轭域的描述 |
| 5.1 预备知识 |
| 5.2 主要结论与证明 |
| 5.3 特殊情形 |
| 5.4 例子 |
| 第六章 C-辛群以及C-自共轭算子的刻画 |
| 6.1 预备知识 |
| 6.2 主要结论和证明 |
| 6.3 标准型 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间发表和完成的学术论文 |
（3）非局部奇异二阶微分方程的Weyl分类（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| 英文摘要 |
| 符号说明 |
| 1 绪论 |
| 1.1 引言 |
| 1.2 研究背景 |
| 1.3 研究现状 |
| 1.4 结构、主要结果及创新点 |
| 2 预备知识 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 经典奇异二阶微分方程的Weyl分类 |
| 2.3 极限点、圆型的判别准则 |
| 3 非局部二阶微分方程的Weyl分类 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 非局部二阶微分方程的平方可积解 |
| 3.3 极限点、极限圆分类 |
| 4 非局部方程在实轴上的平方可积解 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 极限圆型下的平方可积解 |
| 4.3 极限点型下的平方可积解 |
| 5 总结与展望 |
| 5.1 总结 |
| 5.2 问题与展望 |
| 参考文献 |
| 致谢 |
| 学位论文评阅及答辩情况表 |
（4）几类微分系统的定性理论及其应用（论文提纲范文）
| 摘要 |
| Abstract |
| 记号 |
| 第一章 绪论 |
| 1.1 具有转移条件的Dirac算子的谱 |
| 1.2 含有弱奇异核的积分不等式及其在分数阶微分系统中的应用 |
| 1.3 矩阵哈密顿系统的振动性准则 |
| 1.4 非线性分数阶微分方程的振动性准则 |
| 1.5 含混合非线性项的二阶微分方程的广义变分振动性 |
| 第二章 具有转移条件的Dirac算子的谱 |
| 2.1 引言 |
| 2.2 Dirac系统 |
| 2.3 Dirac系统的特征值问题 |
| 2.4 由边界条件和转移条件所定义的算子 |
| 2.5 基本解及特征值的性质 |
| 2.6 Green函数与豫解算子 |
| 第三章 含有弱奇异核的积分不等式及其在分数阶微分系统中的应用 |
| 3.1 引言 |
| 3.2 含有弱奇异核的不连续函数的积分不等式 |
| 3.3 不连续函数的积分不等式在脉冲分数阶微分方程中的应用 |
| 3.4 含有弱奇异核的Gronwall-Bellman型不等式 |
| 3.5 Gronwall-Bellman型不等式在分数阶微分方程上的应用 |
| 第四章 矩阵哈密顿系统的振动性准则 |
| 4.1 引言 |
| 4.2 区间型振动准则 |
| 4.3 线性变换与振动性 |
| 4.4 几个例子 |
| 第五章 非线性分数阶微分方程的振动性准则 |
| 5.1 引言 |
| 5.2 一类非线性分数阶微分方程的振动性准则 |
| 5.2.1 β=η时的振动性准则 |
| η时的振动性准则'>5.2.2 β>η时的振动性准则 |
| 5.3 一类含混合非线性项的分数阶微分方程的振动性准则 |
| 5.3.1 涉及Riemann-Liouville分数阶导数的振动性准则 |
| 5.3.2 涉及Caputo分数阶导数的振动性准则 |
| 5.3.3 几个例子 |
| 第六章 含混合非线性项的二阶微分方程的广义变分振动性 |
| 6.1 引言 |
| 6.2 广义变分振动性准则 |
| 6.3 几个例子 |
| 参考文献 |
| 在读期间发表的学术论文及研究成果 |
| 致谢 |
（5）一类Dirac算子特征值的渐近式（论文提纲范文）
| 1预备知识 |
| 2主要结论 |
（6）乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性（论文提纲范文）
| 摘要 |
| ABSTRACT |
| 第一章 引言 |
| 第二章 基本概念以及重要引理 |
| 2.1 基本概念及相关引理 |
| 2.2 对称微分算式及相关引理 |
| 第三章 微分算式乘积的自伴域的实参数解描述 |
| 3.1 一端奇异微分算式乘积的自伴域 |
| 3.2 两端奇异微分算式乘积的自伴域 |
| 3.3 具有内部奇异点的微分算式乘积的自伴域刻画 |
| 第四章 两个奇型微分算子乘积的自伴性 |
| 4.1 两个四阶奇异微分算子乘积的自伴性 |
| 4.2 两个高阶奇异微分算子乘积的自伴性 |
| 第五章 微分方程边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 5.1 带有简支边界条件的四阶边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 5.2 带有固定边界条件的四阶边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 5.3 六阶边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 5.4 高阶边值问题的特征值对边界的依赖性 |
| 第六章 具有周期边界条件的四阶边值问题的矩阵表示 |
| 6.1 边值问题的矩阵表示 |
| 6.2 特征值问题的边值问题表示 |
| 总结与展望 |
| 参考文献 |
| 主要符号表 |
| 致谢 |
| 攻读学位期间已完成的学术论文 |
（7）从曹之江访谈录看常微分算子理论在中国的早期发展（论文提纲范文）
| 1 曹之江访谈录 |
| 2 从曹之江访谈录看常微分算子理论在中国的早期发展 |
| 2.1 20世纪50年代:常微分算子理论的引入 |
| 2.2 20世纪80年代:中国常微分算子理论的重要成果与影响 |
| 2.3 内蒙古大学微分算子科研团队的进展 |
| 附 录 |
| 中国早期有关常微分算子理论研究文献 |
| (一) 自伴域 |
| (二) 亏指数 |
| (三) 谱分析 |
（8）常微分算子理论的发展（论文提纲范文）
| 中文摘要 |
| ABSTRACT |
| 第1章 绪论 |
| 1.1 选题目的和意义 |
| 1.2 本课题研究现状 |
| 1.3 研究方法及创新点 |
| 1.4 研究内容 |
| 第2章 常微分算子理论的起源(1836-1910) |
| 2.1 边值问题 |
| 2.2 Sturm的简介及其主要工作 |
| 2.2.1 Sturm的简介 |
| 2.2.2 Sturm的工作 |
| 2.3 Liouville的简介及其主要工作 |
| 2.3.1 Liouville的简介 |
| 2.3.2 Liouville的工作 |
| 2.4 Sturm和Liouville合作的工作及其意义 |
| 2.4.1 Sturm和Liouville合作的工作 |
| 2.4.2 Sturm和Liouville工作的意义 |
| 2.5 Sturm-Liouville理论的后续发展 |
| 第3章 常微分算子理论早期的重要工作(1910-1950) |
| 3.1 Weyl的简介及其重要成果 |
| 3.1.1 Weyl的简介 |
| 3.1.2 Weyl的重要成果 |
| 3.2 Dixon的工作 |
| 3.3 Stone的工作 |
| 3.4 Titchmarsh的工作 |
| 3.4.1 正则型问题 |
| 3.4.2 奇异型问题 |
| 3.5 The Titchmarsh-Weyl的贡献 |
| 3.5.1 正则情形 |
| 3.5.2 奇异情形 |
| 第4章 常微分算子自伴扩张理论的发展 |
| 4.1 微分算式的描述 |
| 4.2 常型对称微分算子自伴域描述的成果 |
| 4.2.1 Coddington自伴域(1954) |
| 4.2.2 Naimark自伴域(1954) |
| 4.2.3 Everitt自伴域(常型) |
| 4.3 奇型对称微分算子自伴域描述的成果 |
| 4.3.1 Weyl-Titchmarsh自伴域 |
| 4.3.2 Everitt自伴域 |
| 4.3.3 曹之江-自伴域和孙炯-自伴域 |
| 4.3.4 自伴域描述的新进展 |
| 4.4 其它类型微分算子自伴域的描述 |
| 4.4.1 直和空间上的自伴域 |
| 4.4.2 J-对称微分算子的J-自伴域 |
| 4.4.3 向量值函数空间的自伴域 |
| 4.5 微分算子乘积的自伴域 |
| 4.6 常微分算子自伴域的几何刻画 |
| 4.7 Friedrichs扩张 |
| 第5章 常微分算子谱分析的发展 |
| 5.1 谱的基本概念 |
| 5.2 定性分析的数学思想和研究方法 |
| 5.2.1 定性分析的数学思想 |
| 5.2.2 定性分析的研究方法 |
| 5.3 常微分算子离散谱的判别准则 |
| 5.3.1 实自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.3.2 加权的奇异实自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.3.3 J-自伴微分算子离散谱的判别 |
| 5.4 常微分算子本质谱的判别 |
| 5.5 常微分算子的定量分析 |
| 5.5.1 常微分算子的数值解法 |
| 5.5.2 SLEIGN2及其它软件包的的介绍 |
| 5.5.3 常微分算子数值算法进展的概述 |
| 第6章 常微分算子亏指数理论的发展 |
| 6.1 亏指数的基本概念和理论 |
| 6.2 奇异实对称微分算子亏指数判定的成果 |
| 6.2.1 二阶情形的判定工作 |
| 6.2.2 高阶情形的判定工作 |
| 6.3 复系数对称微分算子亏指数的判别成果 |
| 6.4 亏指数的取值范围 |
| 6.5 算子幂的亏指数 |
| 第7章 常微分算子逆问题的发展 |
| 7.1 早期的工作(1929-1979) |
| 7.2 近三十年来的研究工作(1980-2010) |
| 结束语 |
| 参考文献 |
| 附录1:常微分算子理论发展的年表 |
| 致谢 |
| 攻读博士学位期间发表或待发表的学术论文 |
（9）加权Dirichlet空间上紧Toeplitz算子（论文提纲范文）
| 1 引言与基本概念 |
| 2 加权Dirichlet空间上紧Toeplitz算子 |
（10）微分算子的自共轭域和谱分析——微分算子研究在内蒙古大学三十年（论文提纲范文）
| 1 微分算子亏指数与自共轭扩张研究 |
| 1.1 微分算子的亏指数研究 |
| 1.2 微分算子自共轭扩张的研究 |
| 1.3 微分算子乘积的自共轭性 |
| 2 微分算子自共轭域的辛几何刻画 |
| 3 实参数解的个数与微分算子谱的离散性 |
| 3.1 由实参数解刻画的自共轭域 |
| 3.2 微分算子实参数解的个数与谱的分布关系 |
| 4 具有转移条件的不连续的S-L问题 |
| 5 多角度开展对微分算子谱的定性定量研究 |
| 5.1 紧的嵌入算子与谱的离散性 |
| 5.2 带有不定权函数微分算子的谱分析 |
| 5.3 非自共轭微分算子的谱分析 |
| 5.4 加权的 Sobolev 空间的嵌入和加权的Poincaré等式 |
| 5.5 微分算子特征值的数值计算与分析 |
| 6 长期瞄准一个重要方向, 坚持不懈、合作攻关 |
四、常型Dirac算子的谱分解（论文参考文献）
- [1]一类正则非局部Sturm-Liouville问题特征值的渐近分布[D]. 王凯. 山东大学, 2020(12)
- [2]C-对称微分算子自共轭性的解析描述[D]. 青兰. 内蒙古大学, 2019(09)
- [3]非局部奇异二阶微分方程的Weyl分类[D]. 徐亚飞. 山东大学, 2019(09)
- [4]几类微分系统的定性理论及其应用[D]. 邵晶. 曲阜师范大学, 2015(03)
- [5]一类Dirac算子特征值的渐近式[J]. 郝萍萍,魏广生. 山东大学学报(理学版), 2015(02)
- [6]乘积微分算子的自伴性及特征值对边界的依赖性[D]. 葛素琴. 内蒙古大学, 2014(09)
- [7]从曹之江访谈录看常微分算子理论在中国的早期发展[J]. 许美珍,王万义. 中国科技史杂志, 2011(04)
- [8]常微分算子理论的发展[D]. 许美珍. 内蒙古师范大学, 2011(10)
- [9]加权Dirichlet空间上紧Toeplitz算子[J]. 王晓峰,夏锦. 四川师范大学学报(自然科学版), 2010(01)
- [10]微分算子的自共轭域和谱分析——微分算子研究在内蒙古大学三十年[J]. 孙炯,王万义. 内蒙古大学学报(自然科学版), 2009(04)